Hallo! Gerne helfe ich dir bei Aufgaben zur Steigung an einer Stelle. Die Steigung an einer bestimmten Stelle einer Funktion ist nichts anderes als die Ableitung der Funktion an diesem Punkt. Sie gibt an, wie stark die Funktion an dieser Stelle „steigt“ oder „fällt“.
🔹 Was ist die Steigung an einer Stelle?
- Die Steigung an einer Stelle ( x = a ) einer Funktion ( f(x) ) ist der Wert der Ableitung ( f’(a) ).
- Mathematisch:
[ f’(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) – f(a)}{h} ] - Interpretation:
- ( f’(a) > 0 ): Die Funktion steigt an der Stelle ( a ).
- ( f’(a) < 0 ): Die Funktion fällt an der Stelle ( a ).
- ( f'(a) = 0 ): Möglichkeit für ein Extremum (Maximum oder Minimum).
🔹 Allgemeine Vorgehensweise
Um die Steigung an einer Stelle zu bestimmen, gehst du folgendermaßen vor:
- Ableitung der Funktion berechnen (falls noch nicht gegeben).
- Den Ableitungsausdruck an der Stelle ( x = a ) einsetzen.
- Das Ergebnis ausrechnen.
🔹 Aufgaben zur Steigung an einer Stelle
Aufgabe 1: Lineare Funktion
Gegeben ist die lineare Funktion ( f(x) = 3x – 2 ).
Bestimme die Steigung an der Stelle ( x = 4 ).
Lösung:
- Die Ableitung einer linearen Funktion ( f(x) = mx + b ) ist stets ( m ) (die Steigung ist konstant).
[ f'(x) = 3 ] - Setze ( x = 4 ) ein:
[ f'(4) = 3 ] Ergebnis: Die Steigung an der Stelle ( x = 4 ) beträgt 3.
Aufgabe 2: Quadratische Funktion
Gegeben ist die Funktion ( f(x) = x^2 + 4x – 5 ).
Bestimme die Steigung an der Stelle ( x = -2 ).
Lösung:
- Ableitung berechnen:
[ f'(x) = \frac{d}{dx}(x^2) + \frac{d}{dx}(4x) – \frac{d}{dx}(5) = 2x + 4 ] - Einsetzen von ( x = -2 ):
[ f'(-2) = 2(-2) + 4 = -4 + 4 = 0 ] Ergebnis: Die Steigung an der Stelle ( x = -2 ) beträgt 0. (Hier liegt ein Extremum vor.)
Aufgabe 3: Trigonometrische Funktion
Gegeben ist ( f(x) = \sin(x) ).
Bestimme die Steigung an der Stelle ( x = \frac{\pi}{2} ).
Lösung:
- Ableitung berechnen:
[ f'(x) = \cos(x) ] - Einsetzen von ( x = \frac{\pi}{2} ):
[ f’\left(\frac{\pi}{2}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0 ] Ergebnis: Die Steigung an der Stelle ( x = \frac{\pi}{2} ) beträgt 0.
Aufgabe 4: Funktion mit Parameter
Gegeben ist ( f(x) = ax^3 + bx – 7 ) ( ( a ) und ( b ) sind Konstanten).
Bestimme die Steigung an der Stelle ( x = 1 ).
Lösung:
- Ableitung berechnen:
[ f'(x) = 3ax^2 + b ] - Einsetzen von ( x = 1 ):
[ f'(1) = 3a(1)^2 + b = 3a + b ] Ergebnis: Die Steigung an der Stelle ( x = 1 ) ist ( 3a + b ).
🔹 Tipps für deine Lösungen
- Merke: Die Ableitung gibt die Momentansteigung an.
- Übe das Ableiten von Grundfunktionen:
- ( \frac{d}{dx}© = 0 ) (Kombstante)
- ( \frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1} )
- ( \frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x ), ( \frac{d}{dx}(\cos x) = -\sin x )
- ( \frac{d}{dx}(e^x) = e^x )
- Kontrolle: Wenn die Ableitung schwer fällt, nutze Regeln wie die Kettenregel oder Produktregel.
Wenn du eine bestimmte Aufgabe lösen möchtest oder weitere Beispiele benötigst, gib gern die Funktion und die Stelle an ich helfe dir gerne weiter!