Eine quadratische Funktion hat die allgemeine Form f(x)=ax2+bx+c, wobei a, b und c Konstanten sind. Um eine solche Funktion zu ermitteln, benötigt man in der Regel mindestens drei Punkte (x,y), die auf der Funktion liegen.
Ermittlung der quadratischen Funktion
- Daten sammeln: Sammeln Sie mindestens drei Punkte (x,y), die auf der Funktion liegen.
- Gleichungen aufstellen: Setzen Sie die Werte der Punkte in die allgemeine Form der quadratischen Funktion ein und stellen Sie ein Gleichungssystem auf.
- Gleichungssystem lösen: Lösen Sie das Gleichungssystem nach den unbekannten Konstanten a, b und c.
- Funktion schreiben: Schreiben Sie die quadratische Funktion mit den ermittelten Werten von a, b und c.
Anwendung auf eine gegebene Datenreihe
Gegebene Daten:
| x | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|
| y | 5 | 7 | 10 | 14 | 19 |
- Drei Punkte auswählen: Wählen Sie drei Punkte aus der Datenreihe, z.B. (0,5), (1,7) und (2,10).
- Gleichungen aufstellen:
- Für (0,5): a(0)2+b(0)+c=5⇒c=5
- Für (1,7): a(1)2+b(1)+5=7⇒a+b=2
- Für (2,10): a(2)2+b(2)+5=10⇒4a+2b=5
- Gleichungssystem lösen:
- Aus der zweiten Gleichung: b=2−a
- Einsetzen in die dritte Gleichung: 4a+2(2−a)=5⇒4a+4−2a=5⇒2a+4=5⇒2a=1⇒a=21
- Nun b berechnen: b=2−21=23
- Funktion schreiben: f(x)=21x2+23x+5
Validierung mit den restlichen Punkten
- Für x=3: f(3)=21(3)2+23(3)+5=29+29+5=4,5+4,5+5=14
- Für x=4: f(4)=21(4)2+23(4)+5=216+212+5=8+6+5=19
Alle Punkte liegen auf der Funktion, die Gleichung ist korrekt.
Zusammenfassung
Die quadratische Funktionsgleichung für die gegebene Datenreihe lautet:
f(x)=21x2+23x+5
Diese Funktion beschreibt die Beziehung zwischen den x– und y-Werten in der gegebenen Datenreihe.